Exponentielle d'une matrice - Système différentiel
Formule
Si \(A\) est une matrice, l'exponentielle de \(A\) est donnée par :$${{e^A}}:={{\underset{n\to+\infty}{\operatorname{lim} }\sum^n_{k=0}\frac{A^k}{k!} }}$$
(//Fonction exponentielle (Développement limité en 0))
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) est diagonalisable dans \({\Bbb R}\), les trajectoires sont de la forme : $$\begin{cases} z_1(t)=z_1(0)e^{\lambda_1t}\\ z_2(t)=z_2(0)e^{\lambda_2t}\end{cases}\quad\text{ avec }\quad \begin{align}&\lambda_1,\lambda_2\text{ val propres}\\ &z_2,z_2\text{ vec propres}\end{align}$$
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) est diagonalisable et \(\lambda_1\leqslant\lambda_2\lt 0\), la trajectoire est en forme de puits :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) est diagonalisable et \(\lambda_1=0\gt \lambda_2\), la trajectoire est en forme de puits non-isolé :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) est diagonalisable et \(\lambda_1\geqslant\lambda_2\gt 0\), la trajectoire est en forme de source :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) est diagonalisable et \(\lambda_1=0\lt \lambda_2\), la trajectoire est en forme de source non isolée :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) est diagonalisable et \(\lambda_1\lt 0\lt \lambda_2\), la trajectoire est en forme de col :
Cas bloc de Jordan (non diagonalisable)
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) n'est pas diagonalisable dans \({\Bbb R}\) c'est le bloc de Jordan \(\begin{pmatrix}\lambda&1\\ 0&\lambda\end{pmatrix},\lambda\in{\Bbb R}\), les trajectoires sont de la forme : $$\begin{cases} z_1(t)=(z_1(0)+tz_2(0))e^{\lambda t}\\ z_2(t)=z_2(0)e^{\lambda t}\end{cases}$$
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) n'est pas diagonalisable et \(\lambda_1=\lambda_2\lt 0\), la trajectoire est en forme de puits dégénéré :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) n'est pas diagonalisable et \(\lambda_1=\lambda_2=0\), la trajectoire est en forme de non-isolé dégénéré :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) n'est pas diagonalisable et \(\lambda_1=\lambda_2\gt 0\), la trajectoire est en forme de source dégénérée :
Cas spectre non réel
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) a des valeurs propres complexes conjuguées (les valeurs propres sont \(\lambda_1=\alpha+i\beta\) et \(\lambda_2=\alpha-i\beta\) et \(\exists P,P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\ -\beta&\alpha\end{pmatrix},\alpha,\beta\in{\Bbb R}\)), les trajectoires réelles sont de la forme : $$\begin{cases} z_1(t)=e^{\alpha t}(z_1(0)\cos(\beta t)+z_2(0)\sin(\beta t))\\ z_2(t)=e^{\alpha t}(z_2(0)\cos(\beta t)- z_1(0)\sin(\beta t))\end{cases}$$
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) a des valeurs propres complexes conjuguées (\(\lambda_1=\alpha+i\beta\) et \(\lambda_2=\alpha-i\beta\)) et \(\alpha\lt 0\), la trajectoire est en forme de foyer puits :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) a des valeurs propres complexes conjuguées (\(\lambda_1=\alpha+i\beta\) et \(\lambda_2=\alpha-i\beta\)) et \(\alpha=0\), la trajectoire est en forme de centre :
On se donne le système différentiel \(X^\prime=AX,A\in\mathcal M_2({\Bbb R})\)
Si \(A\) a des valeurs propres complexes conjuguées (\(\lambda_1=\alpha+i\beta\) et \(\lambda_2=\alpha-i\beta\)) et \(\alpha\gt 0\), la trajectoire est en forme de foyer source :